(Николай Васильевич) — заслуженный ординарный профессор математики Московского университета, родился 1837 г. в Душете (Тифлисской губ.), где получил первоначальное образование, а в 1847 г. был отправлен своим отцом, военным врачом кавказских войск, во 2-ю московскую гимназию. По окончании в ней курса с золотою медалью, поступил на физико-математический факультет Московского университета, где занимался под руководством профессоров Зернова, Брашмана, Давидова и др. После окончания курса в 1859 г. был оставлен при Университете для приготовления к профессуре; но, желая получить также прикладное математическое образование, поступил в Инженерное училище, а после, по производстве в офицеры, в Николаевскую инженерную академию, где слушал лекции Остроградского. В 1861 г., по случаю временного закрытия Академии, Б. был откомандирован в 5-й саперный батальон, но вскоре, выйдя в отставку, возвратился в Московский университет, где выдержал магистерский экзамен и в 1863 г. защищал диссертацию для получения степени магистра: "Сходимость бесконечных рядов по их внешнему виду". В том же году командирован министерством за границу, где провел около 2½ лет. По возвращении, в 1866 г. защитил диссертацию на степень доктора чистой математики: "Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е". С 1887 по 1891 г. был деканом факультета.

Учено-литературную деятельность Б. начал в 1861 г. в "Вестнике математических наук" Гусева, где он поместил следующие статьи: "Доказательство теоремы Коши"; "Доказательство теоремы Вильсона"; "Замечания на одну статью высшей алгебры Серре"; "Рациональные функции, выражающие два корня кубического уравнения к третьему. Новый способ решения этого уравнения"; "Графический способ проведения касательных к кривым на плоскости"; "Решение уравнений 4-й степени"; "Интегрирование рациональных дробей без помощи разложения"; "Замечания на теорию равных корней". Большая часть ученых работ Б. помещены в "Математическом Сборнике", а именно: "Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е" ("Математический Сборник", т. I); "Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией" ("Матем. Сбор.", т. II); "По поводу правила сходимости Поммера" ("Мат. Сб.", т. II); "Теорема Эйлера о многогранниках; свойство плоской геометрической сети" (там же); "Некоторые частные теоремы для числовых функций" ("Мат. Сб.", III); "Дифференциальные уравнения 1-го порядка" (там же); "Математика, как орудие научное и педагогическое" (там же); "Интегрируемые формы дифференциальных уравнений 1-го порядка" ("Мат. Сб.", т. IV); "Учение о числовых производных" ("Мат. Сб.", т. V и V I); "Некоторые вопросы числовой алгебры" ("Мат. Сб."., т. VII); "Числовые уравнения 2-й степени" ("Мат. Сб.", т. VIII); "К теории делимости чисел" (там же); "К теории функциональных уравнений" (там же); "Решение одного шахматного вопроса помощью числовых функций" ("Мат. Сб.", т. IX); "Некоторые свойства вычетов и числовых сумм" ("Мат. Сб.", т. X); "Решение уравнений 2-й степени при модуле простом" (там же); "Рациональные функции, находящиеся в связи с теорией приближенного извлечения квадратных корней" (там же); "Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории функций прерывных" ("Мат. Сб.", т. XI и XII); "Один общий закон теории разбиения чисел" ("Мат. Сб.", т. XII); "Общие основания исчисления Еφ (х) с одним независимым переменным" ("Мат. Сб.", т. XII и XIII); "Свойства одного числового интеграла по делителям и его применения. Логарифмические числовые функции" ("Мат. Сб.", т. XIII); "Общие приемы вычисления числовых интегралов по делителям. Естественная классификация целых чисел и прерывных функций" ("Мат. Сб.", т. XIV); "Общие преобразования числовых интегралов и делителей" ("Мат. Сб.", т. XIV); "К теории сходимости рядов" (там же); "Геометрия произвольных величин" (там же); "Различные применения начала наибольших и наименьших показателей в теории алгебраических функций" (там же); "Одна общая теорема теории алгебраических кривых высшего порядка" ("Мат. Сб.", т. XV); "Об уравнениях пятой степени, решаемых в радикалах" (вм. с Лахтиным, ibid.); "Прерывная геометрия" (там же); "Начало наибольших и наименьших показателей в теории дифференциальных уравнений. Целые частные интегралы" ("Мат. Сб.", т. XVI). Кроме того, в отчете Университета за 1887 г.: "С. А. Усов" (биография) и в "Трудах психологич. общества" за 1869 г.: "О свободе воли". Затем в разное время Б. напечатал ряд сочинений педагогических: "Введение в теорию чисел" ("Учен. Зап. Моск. Унив."); "Руководство к арифметике"; "Задачник к арифметике"; "Начальная алгебра"; "Вопросы к алгебре"; "Начальная геометрия".

Б. поместил ряд статей критико-библиографического содержания в "Bulletin des sciences math é matiques et astronomiques", изд. Darboux, и несколько статей в "Comptes rendus" Парижск. Академ. наук. Профессор Б. был не только деятельным сотрудником Московского математического общества, но с давнего времени принадлежал к составу его бюро, исполняя сначала обязанность секретаря, а потом вице-президента общества. В настоящее время он избран председателем его; в то же время он почетный член Общества распространения технических знаний, непременный член Общества естествознания и действительный член Обществ психологического и натуралистов.

Почти во всех университетах России находятся профессоры математики, бывшие учениками Бугаева; в Москве — Некрасов, в Харькове — Андреев, в Варшаве — Сонин и Анисимов, в Казани — Назимов, в Киеве — Покровский, в Одессе — Преображенский. Кроме этих ученых, приобрели еще известность покойные Баскаков и Ливенцов. Ученые исследования Б. весьма разнообразны, но большая часть их относится к теории прерывных функций и к анализу. В исследованиях по теории прерывных функций (так называемой теории чисел) автор исходил из той мысли, что чистая математика распадается на два равноправных отдела: анализ, или теорию непрерывных функций, и теорию прерывных функций. Эти два отдела, по мнению автора, имеют полное соответствие. Неопределенный анализ и теория форм, или так называемая теория чисел, соответствуют алгебре прерывных функций. В "Числовых тождествах etc.", "Учении о числовых производных" и в других статьях Б. дает в первый раз систематическое изложение теории прерывных функций и указывает методы для их исследования. Многие из результатов автора много лет спустя подтверждены учеными Cesaro, Hermite, Gegenbauer и др. При помощи найденных им в сказанных сочинениях результатов, Б. мог изучить теорию некоторых приложений эллиптических функций к теории чисел совершенно особым способом, причем он не только доказал многие недоказанные теоремы Лиувилля, но сверх того нашел еще более сложные теоремы, которые едва ли удалось бы вывести без посредства приемов числового анализа; эти исследования находятся в соч.: "Некоторые приложения теории эллиптических функций".

К работам по анализу относится магистерская диссертация о сходимости рядов, в которой дается возможность получить бесконечное множество признаков сходимости, исходя из идеи о сопряженности рядов. В соч.: "Общие основания исчисления Еφ (х) etc." Б. предлагает новое исчисление, которое стоит в таком же отношении к анализу, в каком исчисление Е (х) стоит к теории чисел. Здесь Б. показывает, что исчисления дифференциальное, конечных разностей, деривационное суть частные случаи этого исчисления. Решая многие новые вопросы и давая новые соотношения, автор дает возможность и в прежних вопросах получать более быстрые решения. В статье: "Рациональные функции etc." дается возможность выразить разложение корня квадратного из полинома рациональными функциями с каким угодно приближением. В сочинениях педагогических Б. обращает внимание между прочим и на литературную обработку языка, а в задачниках Б. задолго предупредил указания известного английского психолога Бэна, выбирая для многих задач конкретные факты, характеризующие различные стороны явлений природы, истории и жизни.